Universo Fractal. (Parte 1 de 2)

Un colaborador, Cristóbal desde México, me acercó este excelente material sobre el Universo Fractal que quiero compartir también con todos ustedes. Se trata de un trabajo de investigación que pertenece a Angel Requena y Abilio Orts. (anrevil@terra.es y aorts2@pie.xtec.es), publicado en la Revista Huygens nº 37. 2002

Cartografiando el Cosmos. La estructura fractal del Universo.

Desde que el hombre tiene conciencia de su existencia en el Universo ha sentido la necesidad de situarse dentro de él. En la actualidad los avances tecnológicos han mejorado ostensiblemente el conocimiento de la esfera celeste. Pero esa curiosidad que llevó al hombre a indagar en el cosmos sigue siendo todavía hoy una necesidad vital para muchos así como la principal fuente de nuevos descubrimientos. La aparición de la geometría fractal está permitiendo el estudio de configuraciones espaciales difícilmente abordables con los elementos de la geometría clásica.

Introducción:

Cuando en una noche estrellada miramos en cualquier dirección vemos miles y miles de estrellas que parecen estar dispuestas entre sí de una forma aleatoria, o al menos, eso nos parece a nosotros. Pero nada tan lejos de la realidad, si nos fijamos un poco empezamos a discernir pequeñas agrupaciones de estrellas u otros cuerpos por doquier como si de diferentes estructuras se trataran.
Claro que desde aquí la Tierra poco podemos decir del resto de cuerpos; conocemos muy bien la estructura y evolución de nuestro planeta, y nos atreveríamos a afirmar que tenemos un conocimiento importante de nuestros vecinos los planetas del sistema solar. Pero, ¿y del resto del universo? ¿Cómo se estructura? ¿Y por qué se estructura así?.
En este artículo intentaremos explicar el cómo y para ello usaremos una simplificación de la realidad a través de un modelo. El porqué será una tarea más difícil que, al menos en este artículo, dejaremos sin abordar; tendrán los científicos profesionales la responsabilidad de empaparse en una cuestión en la que actualmente sólo podemos teorizar.
En estos últimos años los investigadores han progresado enormemente en el estudio de la estructura del universo. El Universo de hoy en día poco tiene que ver con el de principios de siglo, atrás han quedado los tiempos en que no se sabía si nuestra propia galaxia era el confín del universo.
Estructura a gran escala. Y, ¿qué sabemos realmente de la organización de nuestro Universo?. En 1986, un grupo de astrónomos del Centro de Astrofísica Harvard-Smithsonian (CfA), publicaron un sorprendente trabajo en la prestigiosa revista Astrophysical Journal. Midiendo los corrimientos al rojo de cientos de galaxias en el interior de una "rodaja" de cielo en la zona de Coma, fueron capaces de determinar la ubicación tridimensional de la materia visible hasta una profundidad de 500 millones de años-luz. O lo que es lo mismo, trazaron el primer mapa tridimensional del cielo y el resultado no les dejó indiferentes. De acuerdo a este mapa en 3D, los objetos no estaban distribuidos de una forma aleatoria sino que más bien se ajustaban a un diseño que a todos les resultaba familiar: su estructura era similar al de una esponja.
Los científicos encontraron filamentos, láminas, paredes y agujeros vacíos de materia que observados en su aspecto global adquirían esa estructura esponjosa. Para que lo entendamos mejor, la rodaja del CfA se parecía mucho a un trozo de queso de "gruyére". Los agujeros estaban vacios de materia (de queso en este caso) con lo que todo el queso se acumulaba en forma de finas láminas. En alguna de esas miles de millones de láminas se encontraba nuestra galaxia con nosotros dentro, claro (ver figura 1).

Fig.1: “Rodajas de Universo” desde el observatorio de Las Campanas (Chile).

A este estudio le siguieron otros aún más ambiciosos y todos evidenciaron lo mismo; miraras hacia donde miraras toda la materia se estructuraba en forma de esponja, jabonaduras o si queremos también llamarlas pompas de jabón. Un descubrimiento que sorprendió enormemente a los científicos fue el de la Gran Muralla. Como ocurre con su homónima china, esta colosal lámina de galaxias se extendía a lo largo de cientos de millones de años luz. A éste le siguió otro descubrimiento que sorprendió todavía más a los científicos: el Agujero de Boötes. Se trata de una estructura casi esférica en cuyo interior apenas si encontrábamos galaxias. ¿Se imaginan un agujero en el que cabrían mil millones de galaxias como la nuestra y prácticamente vacío?. Pero lo paradójico es que este agujero no era más que uno entre cientos de millones en todo el Universo.
Recapitulando un poco tenemos un Universo lleno de agujeros en cuya "superficie" encontramos toda la materia conocida (galaxias, cúmulos, etc.). Además de eso, los filamentos, paredes y láminas de materia están regularmente esparcidas por todo el Universo. Se podría resumir diciendo, que la estructura del Universo es ubicua.
Pero no sólo este hecho revolucionó las teorías cosmológicas hasta ese momento. Se descubrió además que estas "pompas de materia" tenían movimiento propio además de la expansión "normal" de Hubble.
Fue a finales de los años 80 cuando un grupo de científicos apodados los 7 samurais descubrieron un movimiento peculiar a gran escala. Estudiando la luz que emitían un grupo de galaxias elípticas consiguieron demostrar que todo el cúmulo de Virgo (incluída nuestra galaxia) está moviéndose en dirección de otro gran cúmulo, el de Hidra-Centauro. Y no sólo se mueve nuestro cúmulo en esa dirección sino que el supecúmulo de Hidra-Centauro también se mueve a gran velocidad pero en sentido contrario. Se trata pues de una "atracción mutua" entre dos supercúmulos galácticos. Pero ésto no acaba aquí ya que a su vez estos cúmulos se mueven conjuntamente a una ¡velocidad de 600 km/s! [M. Riordan, D. Schramm, Las Sombras de la Creación (Madrid, 1994)].
Se cree que, al igual que ocurría con la atracción de los cúmulos, una gran masa de materia es la responsable de esta velocidad peculiar. Se trataría de una gran agregación de materia situada más allá del supercúmulo de Hidra-Centauro y a una distancia de 150 millones de años luz y de nombre "Gran Atractor". Contiene una cantidad de materia equivalente al peso de mil billones de veces la masa del Sol, de ahí que nos está precipitando a una velocidad de vértigo en dirección al cúmulo de Hidra-Centauro (ver figura 2).

Fig.2: Movimientos peculiares en nuestro rincón del universo. todo el grupo local se mueve junto con los supercúmulos de Virgo e Hidra-Centauro hacia el Gran Atractor, tomado de “Las sombras de la Creación”, Acento ed., página 123.
Por tanto el rompecabezas cósmico se complicaba un poco más. Nuestro universo no sólo se comporta como un gran pastel de pasas [A. Requena, "La Huella del Universo" HUYGENS 29 (2001)] al hornearse. Ahora al movimiento de la masa cocida hay que unirle el movimiento propio de las pasas (galaxias, cúmulos, etc.), independiente del movimiento producido por el horneado (expansión del Universo).
Se podría pues resumir diciendo que la estructura esponjosa a gran escala del Universo no es estática como la gomaespuma, ni se expande uniformemente como un pastel de pasas cociéndose en el horno sino que se agita adelante y atrás como si de la espuma de mar se tratara [M. Riordan, D. Schramm, Las Sombras de la Creación (Madrid, 1994)].
Hay sin embargo, otro enfoque que darle a la cuestión además del puramente físico. Si describimos la estructura a gran escala en términos geométricos nos encontramos con una estructura aparentemente esponjosa. Pero si le ponemos números a todo ésto y le damos un enfoque puramente estadístico nos llevaremos una grata sorpresa.

Función de correlación:

James Peebles, junto con otros científicos, dejaron de lado los modelos geométricos en los que todo el mundo se centraba en ese momento y apuntaron hacia una descripción basada en términos matemáticos. Analizaron y cuantificaron la separación entre las galaxias y se dieron cuenta que éstas no estaban distribuidas al azar; existía una cierta probabilidad de encontrar cerca un par de ellas. Además esta probabilidad, conocida también como función de correlación de dos galaxias, era inversamente proporcional a la potencia "1,8"; o lo que es lo mismo, era proporcional a 1/r^1,8.
Parece razonable pensar que esta función de probabilidad puede tener algo que ver con la archiconocida fuerza de gravedad que como bien sabemos es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, o también viene dada por la expresión matemática 1/r^2.

Y en cierto modo esta coincidencia no era del todo casual aunque como ahora veremos no era la única explicación a esta enigmática correlación. Durante los años 80 un grupo de científicos americanos y soviéticos comenzaron a aplicar los modelos estadísticos de Peebles a los cúmulos galácticos y tropezaron con un hecho muy curioso. Los cúmulos parecían estar más estrechamente correlacionados que las galaxias y vieron que esa correlación era también proporcional a 1/r^1,8. [M. Riordan, D. Schramm, Las Sombras de la Creación (Madrid, 1994)].
¡Qué coincidencia!. El mismo valor que en el caso de las galaxias. Y no sólo eso, descubrieron algo ciertamente desconcertante. La probabilidad de que encontráramos juntos dos cúmulos ricos era superior a la de encontrar dos cúmulos ordinarios o incluso dos galaxias cualesquiera. Si consideramos el hecho de que los cúmulos ricos no son objetos muy comunes en el universo podemos intuir que la correlación de estos cúmulos no sólo responde a cuestiones gravitatorias.
Parece lógico pensar que en un universo gobernado únicamente por la gravedad, la distribución más probable sería la distribución aleatoria, en la que las galaxias estarían igualmente dispuestas en arracimamientos que aisladamente.

Sin embargo viendo los mapas obtenidos de las diferentes mediciones se observa claramente que las galaxias y con ellas los cúmulos no se distribuyen al azar sino que más bien tienen tendencia a agruparse.

Por tanto podemos aseverar que la gravedad por sí sola no es capaz de explicar este misterio. Debe haber algo más aparte de ésta que determine la estructura a gran escala del universo, quizá el modelo fractal nos ayude a entenderlo.

Naturaleza fractal:

La geometría trata del estudio de las formas. Para ello recurre a modelos sencillos, o por lo menos, no tan complejos como la realidad. La geometría clásica (la que recopiló Euclides en sus Elementos) reduce cualquier figura a rectas, planos, circunferencias, etc. Sin embargo esta geometría comenzó a ser cuestionada por la rotundidad de uno de sus cinco postulados, el de las paralelas (por un punto exterior a una recta dada pasa una única paralela). Así de esta forma, sustituyendo este postulado por la posibilidad de infinitas rectas o bien la imposibilidad de paralelas, aparecieron las diferentes geometrías no euclídeas (que entre otras cosas permitieron a Einstein desarrollar su teoría de la relatividad).
Como hemos dicho, la geometría proporciona modelos que permiten estudiar la realidad. La validez de dichos modelos depende de su “ajustabilidad” al original, es decir, de su capacidad de explicación de la realidad. Un ejemplo muy claro puede verse en el tránsito del geocentrismo al heliocentrismo: el modelo geocentrista no podía explicar fenómenos observables como el diferente brillo y tamaño de una estrella según la estación del año o el paralaje [A. Koestler Los sonámbulos, Salvat Ed. (Barcelona, 1989)].
Un caso similar motivó la necesidad de la geometría fractal, aunque si bien en este caso no se trata de la sustitución de un modelo por otro sino de la convivencia de ambos modelos (dependiendo de la naturaleza del problema utilizaremos un tipo de modelo u otro). A finales del siglo XIX, aparecieron diferentes “monstruos matemáticos” que desafiaban la lógica euclídea. Se hacía necesaria la búsqueda de modelos metodológicos fuera de la geometría euclídea que permitieran el estudio de estos entes matemáticos. En este artículo nos vamos a detener en su estudio y en la solución que aportó el matemático francés Benoït Mandelbrot. Éste comprobó que tras la irregularidad de todos estos objetos se escondía un concepto clave: la autosemejanza interna. Así, en 1967, esboza por primera vez en uno de sus artículos lo que hoy conocemos como geometría fractal y que, posteriormente en 1975, daría a conocer en su obra "Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión" [B. Mandelbrot, Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión, Ed. Tusquets (Barcelona, 1975)].
La geometría fractal es revolucionaria, innovadora e incluso, en sus orígenes, escandalosa. La principal novedad reside en la introducción de un concepto de dimensión geométrica que no tiene por qué ser un número natural. Así, la geometría euclidiana asigna al punto dimensión cero, a la recta dimensión uno, dos a las superficies planas y, por último, dimensión tres a las curvas alabeadas.
Este nuevo tratamiento de la dimensión permite no sólo hablar de dimensiones fraccionarias. También es posible asignar un número irracional a la dimensión fractal de un conjunto.

Pero, ¿qué es un fractal?

Mandelbrot estudió todos estos objetos irregulares de los que hablábamos anteriormente y los designó mediante un neologismo latino: fractal, del latín “fractus” que significa interrumpido o irregular y sigue siendo así a cualquier escala.
El gran acierto de Mandelbrot fue comprobar que la naturaleza está llena de estructuras fractales: “... objetos naturales muy diversos, muchos de los cuales nos son familiares, tales como la Tierra, el Cielo y el Océano, se estudian con la ayuda de una amplia familia de objetos geométricos que hasta ahora habían sido considerados esotéricos e inutilizables, pero que espero poder demostrar, por el contrario que, por la simplicidad, la diversidad y la extensión extraordinaria de sus nuevas aplicaciones merecen ser integrados pronto en la geometría elemental” [B. Mandelbrot, Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión, Ed. Tusquets (Barcelona, 1975)].

El paso del tiempo ha demostrado que Mandelbrot estaba en lo cierto: las líneas de las costas, las redes fluviales, las galaxias, el perfil de las montañas, los conductos pulmonares, los cráteres de la luna o los vasos sanguíneos son algunos de los innumerables ejemplos de estructuras a priori complicadas pero que la geometría fractal ha desvelado que no lo son tanto.
Pero, ¿qué es lo que caracteriza a estas estructuras? Al analizarlas podemos comprobar que todas ellas presentan una irregularidad que hizo que nadie se “atreviera” a estudiarlas durante años. Sin embargo, Mandelbrot encontró que los grados de irregularidad que corresponden a distinta escala son, de alguna forma, iguales. Es decir, parece como si el mismo mecanismo, el mismo patrón hubiera podido engendrar tanto los pequeños detalles como los grandes. Esta propiedad esencial en la teoría fractal se denomina autosemejanza u homotecia interna, es decir, cada “pedazo” es, estadísticamente hablando, homotético (de igual forma) al “todo”.
Perrin en el prólogo de su obra “Les Atomes” (1913) evoca unos objetos familiares de forma irregular o interrumpida y así expresa que la geometría de la naturaleza es caótica y está mal representada por el orden perfecto de las formas usuales de Euclides o del cálculo diferencial.
Recogiendo estas palabras Mandelbrot caracteriza la geometría fractal por dos elecciones: la elección de problemas en el seno de la naturaleza y la elección de herramientas en el seno de las matemáticas.
De esta forma “entre el dominio del caos incontrolado y el orden excesivo de Euclides, hay a partir de ahora una nueva zona de orden fractal” (Mandelbrot, op. cit. página 18).

Continuará...