Las Abejas y las Matemáticas.

¿Saben matemáticas las abejas?.
Este hecho ya fue constatado por Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por que eligieron entonces los hexágonos, si son mas difícil de construir?.
La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego "igual perímetro"). Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. No obstante, un círculo deja espacios cuando se rodea de otros círculos. Así, de todas las figuras geométricas que cumplen la condición "mayor número de lados y adyacencia sin huecos", es el hexágono. Aunque para las abejas esto es verdad desde su nacimiento. A ello se debe que las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quien le enseñó esto a las abejas?...




Analicemos, brevemente, el comportamiento de algunos polígonos. Con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares podremos enlosar una superficie.


Triángulo........................Cuadrado......................Hexágono
Lado = 4 u .....................Lado = 3 u....................Lado= 2 u
Perím. = 12 u.................Perím. = 12 u..............Perím. = 12 u
Área = 6,928 ..................Área = 9 .....................Área = 10,392

Con el mismo perímetro, la mayor superficie se recubre con un hexágono

"Las abejas ..., en virtud de una cierta intuición geométrica ..., saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material." Pappus de Alejandría

Las abejas construyen sus panales como prismas hexagonales regulares apuntados en el fondo por tres rombos inclinados respecto a la horizontal un ángulo determinado para que, almacenando la misma cantidad de miel, tengan la mínima cantidad de materia (cera); es decir, el área sea mínima.
Este problema de las abejas ya admiró a los clásicos y fue estudiado por importantes matemáticos, entre otros Colin McLaurin (1698-1746) y Gabriel Cramer (1704-1752) obteniendo para dicha inclinación valores de 70º 32´ y 70º 31´ respectivamente.

Observando la figura vemos que la abeja construye el rombo GBHF de modo que el volumen que quita del prisma, el GABF, equivale al que añade, el HBJF. Pero aunque el volumen del panal equivale al del prisma hexagonal, sin embargo el área total del panal es la menor posible para tal propósito; si la abeja hubiese dado al panal la forma de prisma, éste no habría perdido capacidad, pero habría sido necesaria más cera para su construcción. En la naturaleza rige la ley del mínimo/máximo.
Vamos a calcular el ángulo x de inclinación del rombo que hace mínima dicha área.

Identidades
AB = a (arista básica del prisma, que por tratarse de un problema afín se puede sustituir por la unidad de longitud; luego lo haremos)
x = HKJ (ángulo de inclinación que deseamos determinar)
KJ = a/2 (apotema del triángulo equilátero BFD)
HJ = KJ.tang(x) = (a/2).tang(x) = AG (por simetría)
HG = 2.HK = a.sec(x)

(lado del triángulo BDF)
HK = KJ.sec(x) = (a/2).sec(x)

El área que estudiamos será mínima cuando sea máxima la diferencia
y = (ABF) + (BFJ) + (ABG) + (AFG) - (GBHF)

Tendremos:
                           

Haciendo a = 1 se tiene:

Derivando:

Igualando a 0 y aplicando el criterio de la derivada segunda se obtiene finalmente:

El doble de dicho ángulo es 70º 31´ 43.606"
Fuente consultada: http://www.arrakis.es/~mcj/abejas.htm