La Nada (Parte 2 de 3)

...Un método de construcción de los números naturales, descubierto por el gran lógico alemán Gottlob Frege, y luego redescubierto por Bertrand Russell, consiste en partir del conjunto vacío e ir aplicando unas cuantas reglas y axiomas sencillos. El cero es definido como el número cardinal de elementos de cualquier conjunto que sea equivalente al conjunto vacío, es decir, que pueda ponerse en correspondencia biunívoca, elemento por elemento con dicho conjunto vacío. Una vez creado el cero, el 1 se define como el número de elementos de todo conjunto equivalente al conjunto que solamente contiene como elemento al 0. Dos es el número de elementos de cualquier conjunto equivalente al formado por 0 y 1. Tres es el número de elementos de cualquier conjunto equivalente al que forman 0,1 y 2. Y así sucesivamente. En general, un número natural cualquiera es el número de elementos contenidos en cualquier conjunto equivalente al que forman todos los números naturales precedentes.
Existen otros métodos para ir construyendo recursivamente el sistema de los números naturales a partir de la nada, cada uno con ciertas sutiles ventajas y desventajas. John Von Neumann, por ejemplo, abrevió en un paso el procedimiento de Frege. Von Neumann prefería definir como 0 al conjunto vacío, como 1 al conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, a 2, como el conjunto cuyos miembros son el conjunto nulo y el 1, y así sucesivamente.
En la década del 60, John Horton Conway, de la Universidad de Cambridge, atinó con un nuevo y notable método para construir los números, partiendo igualmente del conjunto vacío. Su técnica fue descrita por vez primera en un folleto de trece páginas mecanografiadas, que llevaban por título «All Numbers, Great and Small» («Todos los números, grandes y pequeños»). Así comienza el mismo: «Deseamos construir todos los números. Veamos cómo abordaron este problema quienes en el pasado fueron hábiles en la construcción de números». El folleto concluye dejando pendientes diez cuestiones, de las cuales ésta es la última: «¿Sirve de algo toda esta construcción?».
Conway explicó su nuevo sistema a Donald E. Knuth, profesor de ciencias de cómputo, un día de 1972. Knuth quedó inmediatamente fascinado por sus potencialidades y su revolucionario contenido. En 1973, Knuth escribió una introducción al método de Conway, dándole la forma de novela corta. Esta novelita fue publicada en 1974, en una edición de bolsillo. Por lo que se sabe hasta ahora, ha sido la única ocasión en que un descubrimiento matemático de primer orden haya visto la luz en forma de obra de ficción. Un libro posterior de Conway, On Numbers and Games, («Acerca de números y juegos»), se abre con una descripción de su construcción del sistema de números, para seguidamente aplicar su teoría a la construcción y análisis de juegos bipersonales.
La novelita de Knuth, Surreal Numbers, lleva el subtítulo De cómo dos estudiantes se dedicaron a la matemática pura y hallaron la felicidad total. La principal aspiración del libro, explica Knuth en un escrito posterior, no es tanto enseñar la teoría de Conway cuanto «mostrar cómo se podría emprender el desarrollo de una teoría así». Y continúa diciendo: «Así pues, conforme los personajes de este libro van gradualmente explorando y construyendo el sistema numérico de Conway, yo he ido recogiendo sus pasos en falso y sus frustraciones junto a sus ideas felices. Quería dar un retrato razonablemente fiel de principios importantes, técnicas, gozos, pasiones y filosofía de las matemáticas, así que escribí esta historia conforme iba yo mismo realizando esta investigación».

Los dos ex–estudiantes de matemáticas creados por Knuth, Alice and Bill (A y B) han decidido huir del «sistema», refugiándose en un abra de la costa del Océano Indico. Allí descubren y excavan una losa negra semienterrada, donde está esculpido un texto en hebreo arcaico. Bill, que sabe hebreo, consigue traducir la frase inicial: «En el principio todo era vacío, y J.H.W.H. Conway comenzó a crear números». JHWH es una transliteración de «Jehovah» escrito a la usanza del hebreo antiguo. En la piedra, «Conway» tampoco contenía vocales, y Bill dio esta traducción por ser el más breve de los apellidos ingleses capaz de acomodarse a las consonantes que Bill supo encontrar.
La traducción de la «Piedra Conway» prosigue: «Y Conway dijo: Sean dos reglas que engendren todos los números, grandes y pequeños:

1) Cada número corresponde a dos conjuntos de números
previamente creados, tales que ningún miembro del conjunto izquierdo es mayor o igual que ningún miembro del conjunto derecho.

2) Un número es menor o igual que otro número si y
solamente si, ningún miembro del conjunto izquierdo del
primer número es mayor o igual que el segundo número, y
ningún miembro del conjunto derecho del segundo número
es menor o igual que el primer número.

Y Conway examinó estas dos reglas que él había creado y vio que eran muy buenas».

El texto de la losa procede entonces a explicar cómo en el día cero Conway creó el número cero. Así lo hizo colocando el conjunto vacío a la izquierda y también a la derecha. Con notación simbólica, 0 = { Ø /Ø }, donde la barra vertical sirve para separar los conjuntos izquierdo y derecho. Ningún elemento del conjunto Ø escrito a la izquierda es mayor o igual que ningún elemento del Ø escrito a la derecha, porque Ø carece de elementos, y por tanto, la primera regla de Conway se cumple. Aplicando la segunda, es fácil ver que 0 es menor o igual que 0.
Al día siguiente, revela la piedra, Conway creó los dos primeros enteros distintos de cero, 1 y –1. El método consiste, sencillamente en combinar el conjunto vacío con el número 0 de las dos formas posibles: 1 = { 0/Ø } y –1 = { Ø /0 }. Todo funciona. Menos 1 es menor, pero no igual, que 1. Ahora, como es obvio, 1 ; –1 y todos los números subsiguientemente creados pueden ser insertados en los miembros izquierdo y derecho de la fórmula bilateral, y de este modo van siendo construidos los enteros. Formando con 0 y 1 el conjunto izquierdo y tomando para el derecho el Ø se crea el 2. Con 0,1 y 2 a la izquierda y Ø a la derecha se crea el 3; y así los demás.
En este punto quizá uds. encuentren de su agrado explorar un poco por su cuenta.
La ilustración de la portada de Surreal Numbers, original de Jill C. Knuth, muestra dos grandes cantos rodados cuyas formas simbolizan { 0 /1 }. ¿Qué número define esta expresión? ¿Podremos demostrar que {–1 /1 } = 0 ?
«Creced y multiplicaos», dice Conway a los enteros. Combinándolos, primero en conjuntos finitos y luego en conjuntos infinitos, la «copulación» de conjuntos bilaterales prosigue, sin más ayuda que las dos reglas de Conway, cuya sencillez es casi ridícula. De ellas van brotando todos los restantes números reales: primeros los quebrados, cocientes de enteros; luego los irracionales. Al cabo de aleph–subcero días se produce una pavorosa explosión (el «Big Bang») y el universo comienza a ser. Sin embargo, eso no es todo. Antes de que Conway haya terminado su método ha producido todos los números transfinitos de Georg Cantor, todos los números infinitesimales (que son los recíprocos de los números infinitos), y además, conjuntos infinitos de curiosas cantidades nuevas, como las raíces de transfinitos e infinitesimales.
Es una proeza de prestidigitación que nos deja atónitos. Sobre una mesa construida con unos cuantos axiomas de teoría de conjuntos estándar descansa un sombrero vacío. Conway agita en el aire dos reglas sencillas, mete después la mano en “casi la nada” y va sacando del sombrero un tapiz infinitamente rico de números que forman un cuerpo real y cerrado. Cada número está arropado y cercado por una pléyade de nuevos números que están más cercanos de él de lo que pueda estarlo ningún otro valor «real». El sistema es verdaderamente «surreal».
«¡Chico, vaya con el conjunto vacío!», exclama Bill. «Me parece que voy a escribir un libro que se titule Propiedades del conjunto vacío.» La idea de que la Nada tenga propiedades es, desde luego, lugar común en la filosofía, en la ciencia y en el lenguaje ordinario. Al personaje de Alicia de Lewis Carroll puede parecerle absurdo que la Liebre le ofrezca vino inexistente, o que el Rey Blanco admire su habilidad para no ver a nadie en la carretera y se maraville de que nadie llegase antes que la Liebre a causa de que nadie pueda ir más rápido que ella. Es fácil, sin embargo, pensar en ejemplos donde la Nada entra verdaderamente a formar parte de la experiencia humana de forma positiva.
Un ejemplo algebraico, que considero oportuno para distinguir la Nada del número cero es el siguiente:

Sea a = b
a² = a . b (multiplicamos por “a” en ambos miembros)
a² – b² = a.b – b² (restamos “b²” en ambos miembros)
(a + b) . (a – b) = b ( a – b) (factorizamos en ambos miembros)
a + b = b (simplificamos en ambos miembros)
a + a = a (como a = b)
2a = a (sumamos)
2 = 1 ABSURDO!!!

Vemos aquí, como con pasos algebraicos aparentemente lógicos y permitidos hemos llegado a un ¡ABSURDO!; que 2 es igual a 1. ¿Dónde está el error? En no hacer la distinción entre el cero y la Nada. Una unidad de medida, la podemos dividir en cuatro, tres, dos, una o ninguna parte (o sea en nada, no dividirla), pero jamás la podemos dividir en “cero” partes. El considerar en álgebra lícita la división por cero nos lleva a contradicciones como la que acabamos de mostrar. En el cuarto paso al simplificar lo que hacemos es dividir por (a – b) en ambos miembros; pero como la condición inicial nos dice que “a = b”, no estamos haciendo otra cosa que dividir por cero, contradiciendo el principio de no dividir por cero.
A este mismo género pertenece el conocido “dilema infinito” de los antiguos lógicos, que lo exponían así: Platón estaba con sus discípulos. Se aproximaba Aristóteles con los suyos. Platón dijo: “La primera cosa que diga Aristóteles será mentira.” Aristóteles que lo oyó dijo a los suyos: “La última cosa que dijo Platón es verdad”. Se pregunta cuál proposición es verdadera; la respuesta es ninguna. Si Platón dijo verdad, dijo mentira a la vez. Si Aristóteles dijo mentira resulta que dijo verdad y así saltando continuamente sin parar.
La trampa está en que cada una de las dos proposiciones implica la otra y por ende implica una contradicción: o sea que en claramente cada una dice: “La verdad es mentira”. Estos chistes tienen más de 20 siglos.
Desde mi temprana adolescencia me complacía en armar y meditar expresiones tales como:
“Yo soy un Don Nadie!!!, no me intranquiliza, ya que Nadie es perfecto”;
“Nada es para siempre!!!, acostumbrémonos a la Nada”; o bien
“Nadie lo entiende; consultemos pues a Nadie”;
“No tengo Nada; luego lo tengo Todo”
y muchos juegos idiomáticos más que incluyan la Nada o Nadie.
Les planteo aquí una adivinanza: ¿Qué es, que mientras más le quitamos más grande se hace? ¿O bien... mientras mas le añadimos mas pequeño se hace?
continuará...